Question

如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,弦切角

专题：立体几何

分析：（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．
（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．

解答： 解：（1）BE平分∠ABC，理由如下：
证明：∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC，
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…（2分）
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，
∵∠CAD=∠EBC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∴BE平分∠ABC；…（5分）
（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC，
∴E是弧AC的中点，
∴AE=EC=6，
又∠EBC=∠CAD=∠ADC，
∴ED=BD=8…（7分）
∵A、B、C、E四点共圆，
∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF
∴△AEF∽△DEC
∴

EF

EC

=

AE

ED

，
∴EF=

AE•EC

ED

=

9

2

…（10分）

点评：本题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的性质，等边对等角，角平分线的判定，还有相似三角形的判定和性质等知识．本题解题的关键是正确读图，做题时最好自己作图以帮助理解题意．