Question

10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A=3C，c=6，（2a-c）cosB-bcosC=0，则△ABC的面积是$18\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数，利用三角形内角和定理可求A，C，进而利用正弦定理可求a，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：已知等式（2a-c）cosB-bcosC=0，
利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，则B=60°．
∵A=3C，c=6，可得：C=30°，A=90°，
∴a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{6×1}{\frac{1}{2}}$=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×12×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$18\sqrt{3}$．
故答案为：$18\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，考查了转化思想，属于基础题．