Question

12．（1）已知x＜$\frac{5}{4}$，求f（x）=4x-2+$\frac{1}{4x-5}$的最大值；
（2）已知x为正实数且x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，求x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值；
（3）求函数y=$\frac{\sqrt{x-1}}{x+3+\sqrt{x-1}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由x＜$\frac{5}{4}$，可得5-4x＞0，可先求-f（x）的最小值，运用基本不等式即可得到；
（2）由x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，即为2x²+y²=2，运用基本不等式即可得到所求最大值；
（3）令t=$\sqrt{x-1}$，则x=1+t²，由x≥1即有t≥0，函数y=$\frac{t}{{t}^{2}+4+t}$，分子分母同除以t，再由基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）由x＜$\frac{5}{4}$，可得5-4x＞0，
-f（x）=2-4x+$\frac{1}{5-4x}$=（5-4x）+$\frac{1}{5-4x}$-3≥2$\sqrt{（5-4x）•\frac{1}{5-4x}}$-3=-1，
即有f（x）≤1，当且仅当5-4x=1，即x=1时，取得最大值1；
（2）x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，即为2x²+y²=2，
x$\sqrt{1+{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2{x}^{2}（1+{y}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{（\frac{2{x}^{2}+1+{y}^{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当x²=$\frac{3}{4}$，y²=$\frac{1}{2}$，取得最大值$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；
（3）令t=$\sqrt{x-1}$，则x=1+t²，
由x≥1即有t≥0，
则函数y=$\frac{\sqrt{x-1}}{x+3+\sqrt{x-1}}$=$\frac{t}{{t}^{2}+4+t}$，
当t＞0时，y=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}+1}$≤$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}+1}$=$\frac{1}{5}$，
当且仅当t=2，即x=5时，取得最大值$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，和满足的条件：一正二定三等，考查变形和运算能力，属于中档题．