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【题目】在平面直角坐标系中,轴上两个动点,点在直线上,且满足.

(1)求点的轨迹方程;

(2)记点的轨迹为曲线为曲线正半轴的交点,为曲线上与不重合的两点,且直线与直线的斜率之积为,试探究面积的最大值.

【答案】(1)(2)

【解析】

1)通过引入参数,分别表示点的横纵坐标,得到其参数方程,再消去参数得到其轨迹方程.

2)按照直线斜率是否存在分两种情况进行讨论,对于斜率存在的情况,通过设出方程,代入曲线消去得到关于的一元二次方程,利用韦达定理,结合题目条件求出m的值,从而求出关于的表达式,再利用基本不等式即可求出最大值.

(1)设

故点的轨迹方程为

(2)①当直线的斜率不存在时

不合题意.

②当直线的斜率存在时

联立方程

代入上式得

∴直线过定点,所以直线MN: ,即

则三角形GMN的底MN上的高为

当且仅当时取等号

练习册系列答案
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(1)求点的轨迹方程;

(2)记点的轨迹为曲线为曲线正半轴的交点,为曲线上与不重合的两点,且直线与直线的斜率之积为,求证直线经过一个定点,并求出该定点坐标。

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A. B. C. D.

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