Question

【题目】如图，已知四棱锥的底面是菱形，，平面，，与平面所成的角为，点为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）首先根据条件证明，，即平面，再根据平面垂直平面的判定即可得到平面平面.

（2）首先以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求二面角的正切值即可.

（1）因为四边形是菱形，所以，

又因为平面，平面，所以，

又因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）设与交于点，连接，

因为，分别为，的中点，所以.

因为平面，所以平面.

又因为四边形为菱形，，

所以.

因为平面，

所以为与平面所成的角，

所以，.

以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

，，，.

，，.

设平面的法向量为，

则，令，得.

因为平面，所以为平面的法向量.

设二面角的平面角为，

则，

所以.