Question

20．a+bi（a，b∈R）的两个平方根为z₁和z₂，求|z₁-z₂|．（用a，b表示）

Answer 1

分析 根据平方根的定义以及复数的基本运算进行求解即可．

解答 解：∵a+bi（a，b∈R）的两个平方根为z₁和z₂，
∴设（x+yi）²=a+bi（x，y，a，b∈R），
则x²-y²+2xyi=a+bi，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=a}\\{2xy=b}\end{array}\right.$，
将y=$\frac{b}{2x}$代入x²-y²=a，得x²-（$\frac{b}{2x}$）²=a，
即4x⁴-4ax²-b²=0，
解得x²=$\frac{4a+\sqrt{16{a}^{2}+16{b}^{2}}}{8}$=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$或x²=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$（舍），
则y²=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$-a=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}-a}{2}$
若b≥0，则x，y同号，即z₁=x+yi，z₂=-x-yi，
此时z₁-z₂=2x+2yi，则|z₁-z₂|=$\sqrt{4{x}^{2}+4{y}^{2}}$=$\sqrt{2a+2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}-2a}$=2$\sqrt{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
若b＜0，则x，y异号，即z₁=x-yi，z₂=-x+yi，
此时z₁-z₂=2x-2yi，则|z₁-z₂|=$\sqrt{4{x}^{2}+4{y}^{2}}$=$\sqrt{2a+2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}-2a}$=2$\sqrt{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．

点评 本题主要考查复数的基本运算，难度较大．