Question

18．已知复数z=3+bi，b为正实数，且（z-2）²为纯虚数
（1）求复数z；
（2）若$w=\frac{z}{2+i}$，求复数w的模|w|．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出；
（2）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

解答 解：（1）（1+bi）²=1-2bi-b²，
∴1-b²=0，．又b为正实数，
∴b=1．
∴z=3+i．
（2）$w=\frac{3+i}{2+i}=\frac{（3+i）•（2-i）}{（2+i）•（2-i）}=\frac{7-i}{5}=\frac{7}{5}-\frac{1}{5}i$，
∴$|w|=\sqrt{{{（\frac{7}{5}）}^2}+{{（\frac{1}{5}）}^2}}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，属于基础题．