Question

2．已知函数g（x）=lnx-mx²-nx（m，n∈R）在x=2处取得最大值，则m的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{1}{8}$，0）∪（0，+∞）
• B． （-$\frac{1}{8}$，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，$\frac{1}{8}$）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 求出g（x）的导数，由g（x）在x=2处取得最大值，也为极大值，即有g′（2）=0，即n=$\frac{1}{2}$-4m，运用韦达定理求得1-2mx²-nx=0的另一个根，讨论m的范围，即可得到所求范围．

解答 解：函数g（x）=lnx-mx²-nx的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$-2mx-n，
由g（x）在x=2处取得最大值，也为极大值，
即有g′（2）=0，即n=$\frac{1}{2}$-4m，
由1-2mx²-nx=0的一个根为2，
由韦达定理可得另一个根为-$\frac{1}{4m}$，
当m＞0时，-$\frac{1}{4m}$＜0，g′（x）=0的根为2，
即有x=2取得极大值，也为最大值；
当m＜0时，-$\frac{1}{4m}$＞2，解得-$\frac{1}{8}$＜m＜0，g（x）存在极大值和极小值，
x=2为最大值点．
当m=0时，g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$，可得g（x）在x=2处取得最大值，也为极大值．
综上可得m的范围为m＞-$\frac{1}{8}$．
故选B．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，注意运用函数在某个区间只有一个极值，即为最值的结论是解题的关键．