Question

17．已知${（x+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$的展开式所有项中第五项的二项式系数最大．
（1）求n的值；
（2）求展开式中$\frac{1}{x}$的系数．

Answer 1

分析 （1）利用二项式系数的性质求得n的值．
（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0-1，求出r的值，即可求得展开式中$\frac{1}{x}$的系数．

解答 解：（1）由题意，展开式二项式系数$C_n^0，C_n^1，C_n^2，C_n^3，C_n^4，…C_n^n$中，$C_n^4$最大，故n=8．
（2）设展开式中含$\frac{1}{x}$的为为r+1项，则${T_{r+1}}=C_8^r{x^{8-r}}{（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^r}=C_8^r{（\frac{1}{2}）^r}{x^{8-\frac{3}{2}r}}$，
令$8-\frac{3}{2}r=-1$，得r=6，所以展开式中$\frac{1}{x}$系数为$C_8^6{（\frac{1}{2}）^6}=\frac{7}{16}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．