Question

11．求函数y=x-1+$\sqrt{{x}^{2}+2x+3}$的值域．

Answer 1

分析 先求得函数的定义域为R，令x+1=t，可得函数y=t+$\sqrt{{t}^{2}+2}$-2，再利用二次函数的性质求得它的值域．

解答 解：由x²+2x+3≥0，求得x∈R，故函数的定义域为R．
令x+1=t，函数y=x-1+$\sqrt{{x}^{2}+2x+3}$=t+$\sqrt{{t}^{2}+2}$-2，
故当t=0时，函数y取得最小值为$\sqrt{2}$-2，显然，当t趋于正无穷大时，y的值趋于正无穷大．
故函数的值域为[$\sqrt{2}$-2，+∞）．

点评 本题主要考查二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．