Question

5．已知$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是平面内两个不共线的非零向量，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{e_1}+λ\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{EC}=-2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，且A，E，C三点共线
（1）求实数λ的值；若$\overrightarrow{e_1}=（2，1），\overrightarrow{e_2}$=（2，-2），求$\overrightarrow{BC}$的坐标；
（2）已知点D（3，6），在（1）的条件下，若A，B，C，D四点构成平行四边形ABCD，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）通过几何法将向量转化为两向量的和，再将所得向量坐标化，即可得正确结论；
（2）由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到A点的坐标，即本题答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}）}$+（$-\overrightarrow{{e}_{1}}+λ\overrightarrow{{e}_{2}}）+）（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$═$\overrightarrow{{e}_{1}}+（1+λ）\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得 $\overrightarrow{AE}$=k$\overrightarrow{EC}$．
即 $\overrightarrow{{e}_{1}}+（1+λ）\overrightarrow{{e}_{2}}$=$-2k\overrightarrow{{e}_{1}}+k\overrightarrow{{e}_{2}}$，
得（1+2k）$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（k-1-λ）$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∵$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是平面内两个不共线的非零向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}1+2k=0\\ λ=k-1\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，λ=-$\frac{3}{2}$．
$\overrightarrow{e_1}=（2，1），\overrightarrow{e_2}$=（2，-2），
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EC}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（-6，-3）+（-1，1）=（-7，-2）．
（2）∵A、B、C、D四点构成平行四边形，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$．
设A（x，y），则 $\overrightarrow{AD}$=（3-x，6-y），
又 $\overrightarrow{BC}$=（-7，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}3-x=-7\\ 6-y=-2\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=8\end{array}\right.$，
∴点A（10，8）．

点评 本题考查的是平面向量的坐标运算，有一定的思维量，属于中档题．