Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，给出下列结论①△ABC的边长可以组成等差数列②

AC

•

AB

＜0③

A

7

=

B

5

=

C

3

④若b+c=8，则△ABC的面积是

15 3

4

其中正确的结论序号是

 

．

Answer 1

分析：由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），然后分别求出a、b、c的值，即可判断2b与a+c相等得到三边成等差数列，利用余弦定理求出角A的余弦值即可判定A为钝角，利用平面向量的数量积得运算法则求出

AC

•

AB

的值，并根据面积公式即可求出三角形ABC的面积，再与题目进行比较即可．

解答：解：由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），
则a=

7

2

k，b=

5

2

k，c=

3

2

k，
∴a：b：c=7：5：3，∴2b=a+c，
即△ABC的边长可以组成等差数列，故①正确；
∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，故③错误；
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

25 4 k2+ 9 4 k2- 49 4 k2

2× 5 2 × 3 2 k2

=-

1

2

＜0，
∴△ABC为钝角三角形，∴

AC

•

AB

=bccosA＜0，故②正确；
若b+c=8，则k=2，∴b=5，c=3，
又A=120°，∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

15

4

3

，故④正确；
所以正确的结论序号是：①②④．
故答案：①②④

点评：本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的运用，利用三角形的面积公式求解面积，属于基础题．