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    已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.
    (1)求证：f(x)是周期函数.
    (2)已知f(3)=2，求f(2 004).
      （1）证明见解析（2）-2
    （1）证明 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),
    则f(x+2)=f
    ∴f(x+3)=f
    ∴f(x+6)=f
    ∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.
    (2)解  f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （本题满分12分）某电信部门执行的新的电话收费标准中，其中本地网营业区内的通话费标准：前3分钟为0.20元（不足3分钟按3分钟计算），以后的每分钟收0.10元（不足1分钟按1分钟计算。）在一次实习作业中，某同学调查了A、B、C、D、E五人某天拨打的本地网营业区内的电话通话时间情况，其原始数据如下表所示：
     
    		A
    		B
    		C
    		D
    		E
    第一次通话时间
    		3分
    		3分45秒
    		3分55秒
    		3分20秒
    		6分
    第二次通话时间
    		0分
    		4分
    		3分40秒
    		4分50秒
    		0分
    第三次通话时间
    		0分
    		0分
    		5分
    		2分
    		0分
    应缴话费（元）
    		 
    		 
    		 
    		 
    		 
    ⑴在上表中填写出各人应缴的话费；
    ⑵设通话时间为t分钟，试根据上表完成下表的填写（即这五人在这一天内的通话情况统计表）：
    时间段
    		频数累计
    		频数
    		频率
    		累计频率
    0<t≤3
    		┯
    		2
    		0.2
    		0.2
    3<t≤4
    		 
    		 
    		 
    		 
    4<t≤5
    		 
    		 
    		 
    		 
    5<t≤6
    		 
    		 
    		 
    		 
    合计
    		正正
    		 
    		 
    		 
    ⑶若该本地网营业区原来执行的电话收费标准是：每3分钟为0.20元（不足3分钟按3分钟计算）。问这五人这天的实际平均通话费与原通话标准下算出的平均通话费相比，是增多了还是减少了？增或减了多少？

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （本小题满分16分）定义在R上的函数，，当时，，且
    对任意的∈R，有.
    （1）求证：；
    （2）求证：是R上的增函数；
    （3）若，求的取值范围.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数满足；
    （1）求常数k的值；（2）若恒成立，求a的取值范围.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式:
    ①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) 　　②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b) 
    ③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a) 　　④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)
    其中成立的是(    )
    A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    具有性质“对任意x，y∈R，满足f（x+y）=f（x）+f（y）”的函数f（x）是（　　）
    A．f（x）=πxB．f（x）=log0.6xC．f（x）=5xD．f（x）=cosx

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知定义域是（0，+∞）的函数f（x）满足；
    （1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；
    （2）当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．给出下列结论：
    ①对任意m∈Z，有f（3m）=0；
    ②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
    ③存在n∈Z，使得f（3n+1）=0；
    ④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“?k∈Z，使得（a，b）⊆（3k，3k+1）．”
    其中正确结论的序号是______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知函数则f(－2)＝        、已知，则=        ；.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    奇函数满足，当时，，
    则（  ）
    A．B．C．D．

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