Question

5．已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，并且经过点$M（2，-2\sqrt{2}）$，斜率为1的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0），过M（2，-2$\sqrt{2}$），利用抛物线的定义，求解即可．
（2）直线l斜率为1，且过焦点F（1，0），则l方程：y=x-1，联立方程组，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用抛物线的性质，即可线段AB的长度．

解答 解：（1）设抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0），过M（2，-2$\sqrt{2}$），
得4p=8，即得p=2，
∴抛物线的标准方程为y²=4x
（2）直线l斜率为1，且过焦点F（1，0），则l方程：y=x-1
联立$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$，
可得x²-6x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=6
∴|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8即线段AB的长度．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，考查计算能力．