Question

12．已知A，B（不与原点O重合）分别在圆C₁：（x-2）²+y²=4与圆C₂：（x-1）²+y²=1上，且OA⊥OB．
（1）若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当A的极角为$\frac{π}{3}$时，求A，B的极坐标；
（2）求|OA|•|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圆C₁极坐标方程为ρ=4cosθ，当A的极角为$\frac{π}{3}$时，求出A点极坐标为A（2，$\frac{π}{2}$），从而得到A点直角坐标为（1，$\sqrt{3}$），设B直角坐标为（x，y），由OA⊥OB，由求出B点直角坐标，从而能求出B点极坐标．
（2）当过C₁作y轴平行线，交圆C₁于A，过C₂作y轴平行线，交C₂于B，A、B位于x轴两侧，此时|OA|•|OB|取最大值，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵A，B（不与原点O重合）分别在圆C₁：（x-2）²+y²=4与圆C₂：（x-1）²+y²=1上，
圆C₁：（x-2）²+y²=4即x²+y²-4x=0，
∴圆C₁极坐标方程为ρ=4cosθ，
∴当A的极角为$\frac{π}{3}$时，$ρ=4cos\frac{π}{3}$=2，∴A点极坐标为A（2，$\frac{π}{2}$）．
∵A点极坐标为A（2，$\frac{π}{2}$），∴A点直角坐标为（1，$\sqrt{3}$），设B直角坐标为（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+\sqrt{3}y=0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B点直角坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴B点极坐标为B（$\sqrt{3}$，$\frac{11π}{6}$）．
（2）如图，圆C₁：（x-2）²+y²=4的圆心C₁（2，0），半径r₁=2，
圆C₂：（x-1）²+y²=1的圆心C₂（1，0），半径r₂=1，且OA⊥OB，
∴当过C₁作y轴平行线，交圆C₁于A，过C₂作y轴平行线，交C₂于B，A、B位于x轴两侧，
此时|OA|•|OB|取最大值，|OA|=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，|OB|=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴|OA|•|OB|的最大值为：2$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=4．

点评 本题考查点的极坐标的求法，考查两线段积的最大值的求法，是中档题，解题时要注意极坐标和直角坐标互化公式的灵活运用，注意数形结合思想的合理运用．