Question

(Ⅰ)已知函数f(x)=x³-x，其图象记为曲线C，
(ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(ⅱ)证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁(x₁，f(x₁))处的切线交于另一点P₂(x₂，f(x₂))，曲线C与其在点P₂处的切线交于另一点P₃(x₃，f(x₃))，线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则为定值；
(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)，请给出类似于(Ⅰ)(ⅱ)的正确命题，并予以证明．

Answer 1

解：(Ⅰ)(ⅰ)由f(x)=x3-x得f′(x)=3x2-1=， 当x∈时，f′(x)＞0； 当x∈时，f′(x)＜0； 因此，f(x)的单调递增区间为， 单调递减区间为。 (ⅱ)曲线C在点P1处的切线方程为y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1， 即y=(3x12-1)x-2x13， 由得x3-x=(3x12-1)x-2x13， 即(x-x1)2(x+2x1)=0，解得x=x1或x=-2x1，故x2=-2x1， 进而有 ， 用x2代替x1，重复上述计算过程， 可得x3=-2x2和S2=； 又x2=-2x1≠0， 所以， 因此有。
(Ⅱ)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象为曲线C′， 类似于(Ⅰ)(ⅱ)的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1，曲线C′与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于另一点P2(x2，g(x2))，曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别别为S1，S2，则为定值． 证明如下：因为平移变换不改变面积的大小， 故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至坐标原点， 因而不妨设g(x)=ax3+hx，且x1≠0， 类似(Ⅰ)(ⅱ)的计算可得， 故。