【题目】以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点,x轴的正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为
,P是
上一动点,
,Q的轨迹为
.
(1)求曲线的极坐标方程,并化为直角坐标方程,
(2)若点,直线l的参数方程为
(t为参数),直线l与曲线
的交点为A,B,当
取最小值时,求直线l的普通方程.
【答案】(1),
(2)
【解析】
(1)设点P,Q的极坐标分别为,
),利用
这一关系,可得Q的极坐标方程,再化成普通方程,即可得答案;
(2)设点A,B对应的参数分别为,
,则
,将直线l的参数方程
,(
为参数),代入
的直角坐标方程,利用韦达定理,从而将问题转化为三角函数的最值问题,求出此时的
值,即可得答案.
(1)设点P,Q的极坐标分别为,
),
因为,
所以曲线的极坐标方程为
,
两边同乘以ρ,得,
所以的直角坐标方程为
,即
.
(2)设点A,B对应的参数分别为,
,则
,
将直线l的参数方程,(
为参数),
代入的直角坐标方程
中,整理得
.由根与系数的关系得
.
∴,( 当且仅当
时,等号成立)
∴当取得最小值时,直线l的普通方程为
.
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【题目】椭圆(
)的离心率是
,点
在短轴
上,且
。
(1)球椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,过点
的动直线与椭圆交于
两点。是否存在常数
,使得
为定值?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由。
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【题目】已知椭圆的离心率为
,椭圆
截直线
所得的线段的长度为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
两点,点
是椭圆
上的点,
是坐标原点,若
,判定四边形
的面积是否为定值?若为定值,求出定值;如果不是,请说明理由.
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【题目】各项均为非负整数的数列同时满足下列条件:
①
;②
;③
是
的因数(
).
(Ⅰ)当时,写出数列
的前五项;
(Ⅱ)若数列的前三项互不相等,且
时,
为常数,求
的值;
(Ⅲ)求证:对任意正整数,存在正整数
,使得
时,
为常数.
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【题目】已知椭圆的左,右焦点分别为
,
,
,M是椭圆E上的一个动点,且
的面积的最大值为
.
(1)求椭圆E的标准方程,
(2)若,
,四边形ABCD内接于椭圆E,
,记直线AD,BC的斜率分别为
,
,求证:
为定值.
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【题目】设数列的前
项和为
,对于任意的
,都有
.
(1)求数列的首项
及数列的递推关系式
;
(2)若数列成等比数列,求常数
的值,并求数列
的通项公式;
(3)数列中是否存在三项
、
、
,它们组成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,
的参数方程为
(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)求曲线C上的点到距离的最大值及该点坐标.
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【题目】已知抛物线,过点
的直线
交
于
,
两点,且满足以线段
为直径的圆,圆心为
,且过坐标原点
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若圆过点
,求直线
的方程和圆
的方程.
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【题目】国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是( )
A.12个月的PMI值不低于50%的频率为
B.12个月的PMI值的平均值低于50%
C.12个月的PMI值的众数为49.4%
D.12个月的PMI值的中位数为50.3%
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