Question

13．下列4个命题，其中正确的命题序号为（　　）
①|x+$\frac{1}{x}$|的最小值是2  ②$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$的最小值是2  ③log₂x+log_x2的最小值是2   ④3^x+3^-x的最小值是2．

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质分别对①②③④进行判断即可．

解答 解：①x＞0时，|x+$\frac{1}{x}$|=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，
当且仅当x=1时，“=”成立，
x＜0时，|x+$\frac{1}{x}$|=-x-$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{（-x）•（-\frac{1}{x}）}$，
当且仅当x=-1时，“=”成立，
故①正确；
②$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\frac{{x}^{2}+1+1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2，
当且仅当x=0时，“=”成立，
故②正确；
③当0＜x＜1时，log₂x+log_x2的和是负数，
故③错误；
④3^x+3^-x=3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$≥2$\sqrt{{3}^{x}•\frac{1}{{3}^{x}}}$=2，
当且仅当x=0时，“=”成立，
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的性质的应用，熟练掌握满足基本不等式的条件是解答本题的关键，本题是一道基础题．