【题目】已知等比数列{an}满足an+1+an=92n﹣1 , n∈N* .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn , 若不等式Sn>tan﹣1,对一切n∈N*恒成立,求实数t的取值范围.
【答案】
(1)解:由题意,{an}是等比数列,
∵an+1+an=92n﹣1,n∈N*.
可得a1+a2=9,a2+a3=18,
即a1+a1q=9, ,
解得:a1=3,q=2.
∴an= =32n﹣1
(2)解:等比数列的前n项和Sn= =32n﹣3.
不等式Sn>tan﹣1,对一切n∈N*恒成立,即 >t对一切n∈N*恒成立.
∵ = 是递增函数,
∴当n=1时,即 取得最小值为 .
∴t .
即实数t的取值范围(﹣∞, )
【解析】(1)根据题中的递推公式,表示a1,a2,a3之间的关系,由等比数列的通项公式解出首项a1,公比q,从而得出an的通项公式,(2)不等式Sn>tan﹣1,对一切n∈N*恒成立,即 >t对一切n∈N*恒成立,根据递增函数的性质即可得出t的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】如图,设椭圆C1: =1(a>b>0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合,且椭圆C1的离心率是 .
(1)求椭圆C1的标准方程;
(2)过F作直线l交抛物线C2于A,B两点,过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C,求△ABC面积的最小值,以及取到最小值时直线l的方程.
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【题目】斜棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥面ABC,侧面AA1C1C为菱形,∠A1AC=60°,E,F分别为A1C1和AB的中点.
(1)求证:平面CEF⊥平面ABC;
(2)若三棱柱的所有棱长为2,求三棱柱F﹣ECB的体积;
(3)D为棱BC上一点,若C1D∥EF,请确定点D位置,并证明你的结论.
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【题目】已知曲线C1:(x﹣1)2+y2=1与曲线C2:y(y﹣mx﹣m)=0,则曲线C2恒过定点;若曲线C1与曲线C2有4个不同的交点,则实数m的取值范围是
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【题目】已知椭圆 +y2=1(a>1),过直线l:x=2上一点P作椭圆的切线,切点为A,当P点在x轴上时,切线PA的斜率为± . (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,求△POA面积的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=aln(x+1)+ x2﹣x,其中a为非零实数.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若y=f(x)有两个极值点x1 , x2 , 且x1<x2 , 求证: < .
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AH⊥CD于H,BD交AH于P,且PC⊥BC
(1)求证:A,B,C,P四点共圆;
(2)若∠CAD= ,AB=1,求四边形ABCP的面积.
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【题目】已知函数fn(x)= (n∈N*),关于此函数的说法正确的序号是
①fn(x)(n∈N*)为周期函数;②fn(x)(n∈N*)有对称轴;③( ,0)为fn(x)(n∈N*)的对称中心:④|fn(x)|≤n(n∈N*).
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