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    【题目】已知圆过点，且圆心在直线上，过点的直线交圆于两点，过点分别做圆的切线，记为.

    （Ⅰ）求圆的方程；

    （Ⅱ）求证：直线的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程.

    【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）直线的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为.

    【解析】

    （Ⅰ）设圆的方程为

    弦的中点，又 ，故的垂直平分线的方程

    因为圆心是的垂直平分线与直线的交点，由，得，即圆心

    又半径，即可得到圆的方程；

    （Ⅱ）设，直线的交点

    若为直线上任意一点，则,得

    ∴，即处的圆的切线方程

    同理可得，在点处的圆的切线方程为

    由直线过点可推出点满足方程

    即直线的方程为 ，

    又直线过点即

    由此可得到直线的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为.

    （Ⅰ）设圆的方程为

    弦的中点

    又

    ∴的垂直平分线的方程：

    即

    圆心是的垂直平分线与直线的交点

    ∴由，得，即圆心

    又半径

    ∴圆的方程为

    （Ⅱ）设，直线的交点

    若为直线上任意一点，则

    ,得，

    ∵

    ∴，即处的圆的切线方程

    同理可得，在点处的圆的切线方程为

    由直线过点

    ∴,,

    ∴点满足方程

    即直线的方程为 ，

    又直线过点

    ∴，即

    ∴直线的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为.

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