Question

【题目】设函数f（x）=|2x+3|﹣|2x﹣a|，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤﹣5的解集非空，求实数a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的图象关于点（﹣ ，0）对称，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：||2x+3|﹣|2x﹣a||≤|2x+3﹣2x+a|=|3+a|，

∵不等式f（x）≤﹣5的解集非空，

∴﹣|3+a|≤﹣5，∴a≤﹣8或a≥2

（2）解：∵函数y=f（x）的图象关于点（﹣ ，0）对称，

∴f（x﹣ ）+f（﹣x﹣ ）=0，

∴|2x+2|﹣|2x﹣1﹣a|+|﹣2x+2|﹣|﹣2x﹣1﹣a|=0，

由于对任意x为实数均成立，

∴a=1．

【解析】（1）若不等式f（x）≤﹣5的解集非空，﹣|3+a|≤﹣5，即可求实数a的取值范围；（2）若函数y=f（x）的图象关于点（﹣ ，0）对称，f（x﹣ ）+f（﹣x﹣ ）=0，即可求实数a的值．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．