Question

【题目】已知，直线： ，椭圆： ， 、分别为椭圆的左、右焦点．

（1）当直线过右焦点时，求直线的方程；

（2）设直线与椭圆交于， 两点， ， 的重心分别为， ，若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）;（2）

【解析】试题分析：（I）由椭圆方程求得焦点坐标，代入直线方程得到关于的方程求解值；（II）将直线方程与椭圆方程联立，整理为的二次方程，利用根与系数的关系得到关于点坐标的关系式，将， 的重心分别为用点坐标表示，代入原点在以线段为直径的圆内的条件可得到关于的不等式，求解的范围

试题解析：（1）解：因为直线 经过，所以,得，

又因为，所以，故直线的方程为

（Ⅱ）解：设．

由，消去得

则由，知

由于，故为的中点，

由，可知

设是的中点，则，由题意可知

即，

即

而

所以，即．

又因为且，所以．所以的取值范围是