【题目】已知函数f(x)=x2﹣2x+t,g(x)=x2﹣t(t∈R)
(1)当x∈[2,3]时,求函数f(x)的值域(用t表示)
(2)设集合A={y|y=f(x),x∈[2,3]},B={y|y=|g(x)|,x∈[2,3]},是否存在正整数t,使得A∩B=A.若存在,请求出所有可能的t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵f(x)=(x﹣1)2+t﹣1,x∈[2,3],
对称轴x=1,f(x)在[2,3]递增,
∴x=2时,f(x)最小,f(2)=t,
x=3时,f(x)最大,f(3)=t+3,
∴f(x)的值域是[t,t+3];
(2)解:由(1)得:A=[t,t+3],B即为|g(x)|的值域,
∵A∩B=A,∴AB,
∵g(x)=x2﹣t,x∈[2,3],
假设存在正整数t符合要求,
①当1≤ ≤2时,即1≤t≤4时,
|g(x)|的值域是B=[4﹣t,9﹣t],
由4﹣t≤t<t+3≤9﹣t,
∴2≤t≤3,
∴t=2或3,
②当2< <3时,即4<t<9时:
|g(x)|的值域B=[0,M],其中M=max{﹣f(2),f(3)}=max{t﹣4,9﹣t},
显然当4<t<9时,t+3>t﹣4且t+3>9﹣t,不符舍去,
③当 ≥3即t≥9时,
|g(x)|的值域是B=[t﹣9,t﹣4],
由t﹣9≤t+3≤t﹣4,解集为空,
综上t=2或3.
【解析】(1)通过配方求出f(x)的值域;(2)求出集合A,通过讨论t的范围,求出集合B,解不等式求出t的值即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数的值域和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的;当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减.
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【题目】若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asinB﹣ bcosA=0
(1)求A;
(2)当a= ,b=2时,求△ABC的面积.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=1,E、F分别是AB的两个三等分点,AC,DF相交于点G,建立适当的平面直角坐标系:
(1)若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍,求动点M的轨迹围成区域的面积;
(2)证明:E G⊥D F.
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【题目】已知⊙O:x2+y2=1和定点A(2,1),由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.
(1)求实数a,b间满足的等量关系;
(2)求线段PQ长的最小值;
(3)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点,试求半径最小值时⊙P的方程.
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【题目】如图,已知矩形ABCD所在平面与等腰直角三角形BEC所在平面互相垂直,BE⊥EC,AB=BE,M为线段AE的中点.
(Ⅰ) 证明:BM⊥平面AEC;
(Ⅱ) 求MC与平面DEC所成的角的余弦值.
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【题目】设甲、乙、丙三个乒乓球协会的分别选派3,1,2名运动员参加某次比赛,甲协会运动员编号分别为A1 , A2 , A3 , 乙协会编号为A4 , 丙协会编号分别为A5 , A6 , 若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
(1)用所给编号列出所有可能抽取的结果;
(2)求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率;
(3)求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.
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