Question

已知函数f(x)＝(a、b、c∈N)，f(2)＝2，f(3)＜3且f(x)的图像按向量e＝(－1，0)平移后得到的图像关于原点对称．

(Ⅰ)求a、b、c的值；

(Ⅱ)设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求证：|t＋x|＋|t－x|＜|f(tx＋1)|；

(Ⅲ)设x是正实数，求证：－f(＋1)≥－2．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)函数f(x)的图像按e＝(－1，0)平移后得到的图像所对应的函数式为 　　f(x＋1)＝ 　　∵函数f(x)的图像平移后得到的图像关于原点对称． 　　∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即 　　∵a∈N，∴＋1＞0，∴－bx＋c＝－bx－c，∴c＝0 　　又∵f(2)＝2，∴＝2，∴a＋1＝2b，∴a＝2b－1　　① 　　又f(3)＝＜3，∴4a＋1＜6b　　② 　　由①，②及a，b∈N，得a＝1，b＝1 　　(Ⅱ)∵|f(tx＋1)|＝|tx＋|＝|tx|＋||≥2＝2， 　　当且仅当|tx|＝1时，上式取等号． 　　但0＜|x|＜1，0＜|t|≤1， 　　∴|tx|≠1，|f(tx＋1)|＞2 　　S＝ 　　当|t|≥|x|时，S＝4≤4； 　　当|t|＜|x|时，S＝4＜4． 　　∴|t＋x|＋|t－x|≤2＜|f(tx＋1)，即|t＋x|＋|t－x|＜|f(tx＋1) 　　(Ⅲ)n＝1时，结论显然成立． 当n≥2时，