Question

对于实数a，b，定义运算?：a?b=设函数f（x）=（x²-x+1）?（2x-1），其中x∈R
（I）求f（）的值；
（II）若1≤x≤2，试讨论函数h（x）=（t∈R）的零点个数．

Answer 1

解：（Ⅰ）由x²-x+1≤2x-1，即x²-3x+2≤0，解得：1≤x≤2，此时f（x）=x²-x+1；
由x²-x+1＞2x-1，即x²-3x+2＞0，解得：x＜1或x＞2．
∴．
∴．
（Ⅱ）当1≤x≤2时，f（x）=x²-x+1，
==．
令，
则函数h（x）的零点个数，即为函数y=g（x）与函数y=-t的交点个数．
由g^′（x）=2x²-x-1=（2x+1）（x-1）．
当x∈（1，2）时，g^′（x）＞0，∴g（x）在（1，2）上单调递增．
又，．
∴当，即时，函数h（x）有一个零点；
当或，即或时，函数h（x）没有零点．
综上所述，当时，函数h（x）有一个零点；
当或时，函数h（x）没有零点．
分析：（Ⅰ）通过求解不等式得到x²-x+1≤2x-1和x²-x+1＞2x-1的x的取值范围，从而写出分段函数f（x），直接代入后可求f（）的值；
（Ⅱ）求函数h（x）=（t∈R）的零点个数，即求函数与函数y=x的交点个数，把函数f（x）的解析式代入后利用导数分析函数的极值点的情况，根据函数极值点的情况可得函数与函数y=x的交点个数，从而得到函数h（x）=（t∈R）的零点个数．
点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数零点个数的判断，一个函数零点的个数，就是该函数对应的方程的根的个数，此类问题往往转化为另外两个函数交点的个数来解决，是中档题．