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已知函数f(x)=2x3+mx2+(1-m)x,(x∈R).
(1)当m=1时,解不等式f′(x)>0;
(2)若曲线y=f(x)的所有切线中,切线斜率的最小值为-11,求m的值.
分析:(1)当m=1时,直接求出的导数,然后解不等式f′(x)>0,即可;
(2)求出函数的导数,利用曲线y=f(x)的所有切线中,切线斜率的最小值为-11,就是导函数的最小值为-11,
然后通过二次函数求m的值.
解答:解:(1)当m=1时,函数f(x)=2x3+x2,f′(x)=6x2+2x,
不等式f′(x)>0,即6x2+2x>0,解得x∈(-∞,-
1
3
)∪(0,+∞)

不等式f′(x)>0的解集为:(-∞,-
1
3
)∪(0,+∞)

(2)因为函数f(x)=2x3+mx2+(1-m)x,所以f(x)=6x2+2mx+1-m=6(x+
m
6
)2+1-m-
m2
6

因为曲线y=f(x)的所有切线中,切线斜率的最小值为-11,所以1-m-
m2
6
=-11∴m=6或-12

所求m值为:6或-12.
点评:本题考查利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,导数的求法,会利用导数研究函数的最小值.注意二次不等式的解法,考查计算能力.
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1
x
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