Question

已知函数f（x）=2x³+mx²+（1-m）x，（x∈R）．
（1）当m=1时，解不等式f′（x）＞0；
（2）若曲线y=f（x）的所有切线中，切线斜率的最小值为-11，求m的值．

Answer 1

分析：（1）当m=1时，直接求出的导数，然后解不等式f′（x）＞0，即可；
（2）求出函数的导数，利用曲线y=f（x）的所有切线中，切线斜率的最小值为-11，就是导函数的最小值为-11，
然后通过二次函数求m的值．

解答：解：（1）当m=1时，函数f（x）=2x³+x²，f′（x）=6x²+2x，
不等式f′（x）＞0，即6x²+2x＞0，解得x∈(-∞，-

1

3

)∪(0，+∞)．
不等式f′（x）＞0的解集为：(-∞，-

1

3

)∪(0，+∞)．
（2）因为函数f（x）=2x³+mx²+（1-m）x，所以f′(x)=6x2+2mx+1-m=6(x+

m

6

)2+1-m-

m2

6

，
因为曲线y=f（x）的所有切线中，切线斜率的最小值为-11，所以1-m-

m2

6

=-11∴m=6或-12．
所求m值为：6或-12．

点评：本题考查利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，导数的求法，会利用导数研究函数的最小值．注意二次不等式的解法，考查计算能力．