Question

（2012•泉州模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象，P，Q是这部分图象与x轴的交点（按图所示），函数图象上的点R满足：|RP|=

11

，|RQ|=3

3

，cos∠RPQ=

3 11

11

．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期；
（Ⅱ）若P的横坐标为1，试求函数y=f（x）的解析式，并求f(

4

3

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△PRQ中，通过余弦定理求出PQ，推出函数的周期．
（Ⅱ）利用函数的周期求出ω，通过函数f（x）过点P（1，0），求出φ，求出P的纵坐标，求出函数的振幅，推出函数的解析式，然后求解f(

4

3

)的值．

解答：本题满分（13分）．
解：（Ⅰ）在△PRQ中，由余弦定理可得：(3

3

)2=PQ2+(

11

)2-2×|PQ|×

11

×

3 11

11

，
∴PQ²-6|PQ|-16=0，∴|PQ|=8或|PQ|=-2（舍去）．…（3分）
∴函数y=f（x）的周期为8．…．（5分）
（Ⅱ）∵T=8，∴ω=

2π

T

=

π

4

，…．（7分）
又∵函数f（x）过点P（1，0），∴φ=-

π

4

，…（9分）
∴f(x)=Asin(

π

4

x-

π

4

)．
过点R作x轴的垂线，垂足为H，在RT△PHR中，|PR|=

11

，cos∠RPQ=

3 11

11

，
∴|PH|=3，|RH|=

2

，R(4，

2

)，∴Asin(π-

π

4

)=

2

，A=2．…..（11分）
∴f(x)=2sin(

π

4

x-

π

4

)，
则f(

4

3

)=2sin(

π

3

-

π

4

)=2sin

π

3

cos

π

4

-2cos

π

3

sin

π

4

=

6 - 2

2

．…．（13分）

点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．