Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为8，M，N，P分别是A₁B₁，AD，B B₁的中点．
（1）画出过点M，N，P的平面与平面ABCD的交线以及与平面BB₁C₁C的交线；
（2）设平面PMN与棱BC交于点Q，求PQ的长．

Answer 1

解：（1）如图所示：∵MP?平面ABB₁，
∴MP与底面ABCD的交点K必在侧面ABB₁与底面ABCD的交线AB上，
∴过点M，N，P的平面与平面ABCD的交线是NK，（K在线段AB的延长线上），与平面BB₁C₁C的交线是PQ（Q在线段BC上）．∵BK∥A₁B₁，
∴，∴BK=4．
∵BQ∥AN，∴，
∴BQ=．
（2）由（1）可知：BQ=，BP=4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得PQ==．

分析：（1）根据MP与底面ABCD的交点K必在侧面ABB₁与底面ABCD的交线AB上，连接NK交BC与Q，与平面BB₁C₁C的交线是PQ．
（2）根据（1）得到的交线PQ，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得．
点评：本题考查了平面与平面的交线及交线长等问题，正确画出交线是解决问题的关键．