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如图,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把△ABD折起,使A移到A1点,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.
(1)求证:BC⊥A1D;
(2)求证:平面A1BC⊥平面A1BD;
(3)求三棱锥A1-BCD的体积.

【答案】分析:(1)由A1在平面BCD上的射影O在CD上得A1O⊥平面BCD⇒BC⊥A1O;又BC⊥CO⇒BC⊥平面A1CD⇒BC⊥A1D;
(2)先由ABCD为矩形⇒A1D⊥A1B,再由(Ⅰ)知A1D⊥BC⇒A1D⊥平面A1BC,即可得到平面A1BC⊥平面A1BD;
(3)把求三棱锥A1-BCD的体积转化为求三棱锥B-A1CD的体积即可.
解答:证明:(1)连接A1O,
∵A1在平面BCD上的射影O在CD上,
∴A1O⊥平面BCD,又BC?平面BCD
∴BC⊥A1O
又BC⊥CO,A1O∩CO=O,
∴BC⊥平面A1CD,又A1D?平面A1CD,
∴BC⊥A1D

(2)∵ABCD为矩形,∴A1D⊥A1B由(Ⅰ)知A1D⊥BC,A1B∩BC=B
∴A1D⊥平面A1BC,又A1D?平面A1BD
∴平面A1BC⊥平面A1BD
(3)∵A1D⊥平面A1BC,
∴A1D⊥A1C.
∵A1D=6,CD=10,∴A1C=8,
∴V=V==48.
故所求三棱锥A1-BCD的体积为:48.
点评:本题是对线线垂直以及面面垂直和三棱锥的体积计算的综合考查.在证明面面垂直时,其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:名师指点学高中课程 数学 高二(下) 题型:044

如图,已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线AC将△ABC折起,使B点在平面ADC内的射影恰好落在AD上,求:

(1)异面直线AB与CD成的角;

(2)异面直线AB与CD的距离;

(3)二面角B-AC-D的大小.

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科目:高中数学 来源:2014届安徽省高一下学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、

PC的中点.

(1)求证:EF∥平面PAD;

(2)求证:EF⊥CD;

(3)若ÐPDA=45°求EF与平面ABCD所成的角的大小.

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用,以及线面角的求解的综合运用

第一问中,利用连AC,设AC中点为O,连OF、OE在△PAC中,∵ F、O分别为PC、AC的中点   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中,∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知:平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD.

第二问中在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影       ∴ CD⊥EF.

第三问中,若ÐPDA=45°,则 PA=AD=BC    ∵ EOBC,FOPA

∴ FO=EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°

证:连AC,设AC中点为O,连OF、OE(1)在△PAC中,∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①    在△ABC中,∵ E、O分别为AB、AC的中点  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知:平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD.

(2)在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF.

(3)若ÐPDA=45°,则 PA=AD=BC         ∵ EOBC,FOPA

∴ FO=EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°

 

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年江苏省南京市高三第二次模拟考试数学卷 题型:解答题

在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10,共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A、选修4-1:几何证明选讲

   如图,已知梯形ABCD为圆内接四边形,AD//BC,过C作该圆的切线,交AD的延长线于E,求证:ΔABC∽ΔEDC。

B、选修4-2:矩形与变换

已知 为矩阵属于λ的一个特征向量,求实数a,λ的值及A2。

C、选修4-4:坐标系与参数方程

   在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为(α为参数),曲线D的参数方程为,(t为参数)。若曲线C、D有公共点,求实数m的取值范围。

D、选修4-5:不等式选讲

   已知a,b都是正实数,且ab=2。求证:(1+2a)(1+b)≥9。

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知几何体ABC-DEF中,△ABC及△DEF都是边长为2的等边三角形,四边形ABEF为矩形,且CD=AF+2,CD//AF,O为AB中点.

(1)求证:AB⊥平面DCO

(2)若M为CD中点,AF=x,则当x取何值时,使AM与平面ABEF所成角为45°?

试求相应的x值的.

(3)求该几何体在(2)的条件下的体积.

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科目:高中数学 来源:2011届江苏省南京市高三第二次模拟考试数学卷 题型:解答题

在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10,共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A、选修4-1:几何证明选讲
如图,已知梯形ABCD为圆内接四边形,AD//BC,过C作该圆的切线,交AD的延长线于E,求证:ΔABC∽ΔEDC。

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已知为矩阵属于λ的一个特征向量,求实数a,λ的值及A2。
C、选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为(α为参数),曲线D的参数方程为,(t为参数)。若曲线C、D有公共点,求实数m的取值范围。
D、选修4-5:不等式选讲
已知a,b都是正实数,且ab=2。求证:(1+2a)(1+b)≥9。

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