Question

已知函数f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
（1）求f（x）的最小正周期和最大值及取得最大值时变量x的取值集合；
（2）求f（x）的单增区间．

Answer 1

考点：三角函数的最值,正弦函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用两角和的正弦公式及二倍角公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的最值，即可得到；
（2）由正弦函数的增区间，解不等式，即可得到所求区间．

解答： 解：（1）函数f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
则f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

，k∈Z，f（x）取得最大值2，
则f（x）取得最大值时变量x的取值集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
即有f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查两角和的正弦公式和二倍角公式的运用，考查三角函数的周期和单调性，以及最值，考查运算能力，属于基础题．