Question

20．已知数列的前n项和S_n=-2n²+16n+3．
（1）写出该数列的前三项；
（2）判断-38是否在该数列中；
（3）确定S_n何时有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用数列的前n项和S_n=-2n²+16n+3，能求出该数列的前三项．
（2）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用数列的前n项和S_n=-2n²+16n+3，求出a_n，由此能判断-38是否在该数列中．
（3）利用配方法得到S_n=-2n²+16n+3=-2（n-4）²+35，由此能求出S_n的最大值．

解答 解：（1）∵数列的前n项和S_n=-2n²+16n+3，
∴a₁=S₁=-2×1²+16×1+3=17，
a₂=S₂-S₁=（-2×2²+16×2+3）-（-2×1²+16×1+3）=10，
a₃=S₃-S₂=（-2×3²+16×3+3）-（-2×2²+16×2+3）=6．
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=[（-2n²+16n+3）-[-2（n-1）²+16（n-1）+3]=18-4n，
当n=1时，18-4n=14≠a₁，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{17，n=1}\\{18-4n，n≥2}\end{array}\right.$，
令18-4n=-38，解得n=14，
∴-38是在该数列中，是该数列的第14项．
（3）∵S_n=-2n²+16n+3=-2（n-4）²+35，
∴当n=4时S_n有最大值，最大值是35．

点评 本题考查数列的前3项的求法，考查数列中某一项的判断，考查数列的前n项和的最大值的判断和求法，是基础题，解题时要注意公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$的合理运用．