【题目】已知函数f(x)=(2x+b)ex,F(x)=bx-ln x,b∈R.
(1)若b<0,且存在区间M,使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,求实数b的取值范围;
(2)若F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围.
【答案】(1)(-∞,-2).(2)[1,+∞).
【解析】试题分析:(1)求出函数f(x)的导函数,由导函数的符号求得函数的单调区间,再求出函数F(x)的导函数,由b<0,可得F′(x)<0,则F(x)在定义域(0,+∞)上为减函数,要使存在区间M,使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,需>0,求解可得b的范围;(2)由F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,可得bx﹣ln(x+1)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)=bx﹣ln(x+1),求导可得b≤0时, 0<b<1时, b≥1时,这几种情况下的函数最值,求得参数范围。
解析:
(1)f′(x)=ex(2x+b+2),
由f′(x)<0得x<;由f′(x)>0得.
F(x)的定义域为(0,+∞),且F′(x)=b-,
∵b<0,∴F′(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,
∴>0,得b<-2,即实数b的取值范围是(-∞,-2).
(2)由F(x+1)>b得ln(x+1)-bx<0.
∵x>0, 在x∈(0,+∞)上恒成立.
设g(x)=ln(x+1)-x,则g′(x)=-1<0,
∴g(x)在(0,+∞)上递减,∴g(x)<g(0)=0.
∴ln(x+1)-x<0,即<1,∴b≥1.
因此实数b的取值范围是[1,+∞).
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【题目】如图,平面五边形ABCDE中,AB∥CE,且AE=2,∠AEC=60°,CD=ED=,cos∠EDC=.将△CDE沿CE折起,使点D移动到P的位置,且AP=,得到四棱锥P-ABCE.
(1)求证:AP⊥平面ABCE;
(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证:AB∥l.
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【题目】设向量, ,记
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)试用“五点法”画出函数f(x)在区间上的简图,并指出该函数的图象可由y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到;
(3)若函数g(x)=f(x)+m, 的最小值为2,试求出函数g(x)的最大值.
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【题目】(导学号:05856284)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=b(1+2cosA).
(Ⅰ)求证:A=2B;
(Ⅱ)若a=,B=,求△ABC的面积.
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【题目】四棱锥PABCD的三视图如图所示,四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上, E,F分别是棱AB,CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2 ,则该球的表面积为
A. 12π B. 24π C. 36π D. 48π
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【题目】(导学号:05856334)
已知函数f(x)=ln x+ax2+1.
(Ⅰ)当a=-1时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a>0时,证明:存在正实数λ,使得λ恒成立.
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