Question

已知函数f（x）=x²-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₃的值为（　　）

• A．

  2010

  2011

• B．

  2011

  2012

• C．

  2012

  2013

• D．

  2013

  2014

Answer 1

分析：利用导数的几何意义求b，然后通过数列{

1

f(n)

}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出S₂₀₁₃的值．

解答：解：∵f（x）=x²-ax，
∴f′（x）=2x-a，
根据导数的几何意义，
∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2-a，
∵函数f（x）=x²-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，
∴（2-a）×(-

1

3

)=-1，
∴a=-1，
∴f（x）=x²+x，
∴f（n）=n²+n=n（n+1），
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₃=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2013

-

1

2014

）
=1-

1

2014

=

2013

2014

，
∴S₂₀₁₃=

2013

2014

．
故选D．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，数列的求和．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．常见的数列求和的方法有：分组求和法，裂项法，错位相减法，倒序相加法．要根据具体的通项公式的特点进行判断该选用什么方法进行求和．本题利用裂项法求数列的和，考查学生的综合能力．属于中档题．