Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求数列{2^a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由题意可得a₃²=a₁•a₉=a₉，从而建立关于公差d的方程，解方程可求d，进而求出通项a_n
（II）由（I）可得2an=2n，代入等比数列的前n项和公式可求S_n

解答：解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列得

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，
解得d=1，d=0（舍去），故{a_n}的通项a_n=1+（n-1）×1=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2an=2n，由等比数列前n项和公式得
S_m=2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题考查了等差数列及等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于基本公式的简单运用．