Question

9．已知抛物线y²=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．
（1）求t，p的值；
（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线y²=2px （p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4，根据抛物线的定义，可求t，p的值；
（2）设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$，可求t的值，即可求出该定点P的坐标

解答 解：（1）由抛物线定义得，$3+\frac{p}{2}=4⇒p=2$…（2分）
所以抛物线方程为y²=4x，…（3分）
代入点T（3，t），可解得$t=±2\sqrt{3}$．…（5分）
（2）设直线AB的方程为x=my+n，$A（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}）$，$B（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$
联立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=my+n}\end{array}}\right.$消元得：y²-4my-4n=0，则：y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n…（8分）
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$得：$\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{16}+{y_1}{y_2}=5$，所以：y₁y₂=-20或y₁y₂=4（舍去）
即-4n=-20⇒n=5，所以直线AB的方程为x=my+5，
所以直线AB过定点P（5，0）…（12分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．