已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求证:f(x)在R上是减函数.
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
(1)见解析 (2) 最大值为2,最小值为-2
【解析】(1)方法一:∵函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),
∴令x=y=0,得f(0)=0.
再令y=-x,得f(-x)=-f(x).
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).
又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,
∴f(x1-x2)<0,
即f(x1)<f(x2).
因此f(x)在R上是减函数.
方法二:设x1>x2,
则f(x1)-f(x2)
=f(x1-x2+x2)-f(x2)
=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)
=f(x1-x2).
又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,
∴f(x1-x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在R上为减函数.
(2)∵f(x)在R上是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).
而f(3)=3f(1)=-2,f (-3)=-f(3)=2.
∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.
科目:高中数学 来源:2014年高考数学文二轮专题复习与测试选修4-1几何证明选讲练习卷(解析版) 题型:解答题
如图,AB为⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明:
(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=AD·BC.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业(六)第二章第三节练习卷(解析版) 题型:填空题
已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= .
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业(八)第二章第五节练习卷(解析版) 题型:填空题
函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业(八)第二章第五节练习卷(解析版) 题型:选择题
已知实数a,b满足等式2a=3b,下列五个关系式:①0<b<a;
②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中可能成立的关系式有( )
(A)①②③ (B)①②⑤
(C)①③⑤ (D)③④⑤
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业(五)第二章第二节练习卷(解析版) 题型:选择题
若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( )
(A)增函数 (B)减函数 (C)先增后减 (D)先减后增
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业(二)第一章第二节练习卷(解析版) 题型:选择题
设a,b∈R,则“a>1且0<b<1”是“a-b>0且>1”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业(七)第二章第四节练习卷(解析版) 题型:选择题
已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是( )
(A)a>1 (B)0<a<1
(C)a>2 (D)a<0
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