Question

【题目】如图，在四棱锥中：底面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且，BC=1，M为棱PD上的点。

（Ⅰ）若，求证：平面PAB；

（Ⅱ）求直线BD与平面PAD所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）过点M作MH∥AD，交PA于H，连接BH，证明MH∥BC，CM∥BH，然后证明MC∥平面PAD．（Ⅱ）说明BC⊥AB．PB⊥AB，PB⊥BC，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求平面PAD的一个法向量，则可求出直线BD与平面PAD所成角（Ⅲ）求平面PCD的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角的大小．

（Ⅰ）过点M作MH∥AD，交PA于H，连接BH，

∵PMPD，∴ HMAD＝BC．

又MH∥AD，AD∥BC，∴HM∥BC．

∴BCMH为平行四边形，∴CM∥BH．

又BH平面PAB，CM平面PAB，

∴MC∥平面PAB．

（Ⅱ）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，∴BC⊥AB．

∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥AB，PB⊥BC，

如图，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

∴C（1，0，0），D（3，3，0），A（0，3，0），P（0，0，3）．

设平面PAD的一个法向量为（x，y，z），

∵（3，3，﹣3），（3,0,0）

∴，

取y＝1得到（0， 1，1），

设直线BD与平面PAD所成角为,

∴sin，

∴直线BD与平面PAD所成角的大小为．

（Ⅲ）设平面PCD的一个法向量为

∴取c=1,得到

,

∴二面角的余弦值为