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【题目】如图1,四边形ABCD是菱形,且∠A=60°,AB=2,E为AB的中点,将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1 , 如图2.
(Ⅰ) 求证:平面ADE⊥平面AEB1
(Ⅱ) 若二面角A﹣DE﹣C1的大小为 ,求三棱锥C1﹣AB1D的体积.

【答案】证明:(Ⅰ)∵图1,四边形ABCD是菱形,且∠A=60°,E为AB的中点,

∴DE⊥AB,

∵将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1,如图2,

∴DE⊥AE,DE⊥B1E,

又AE∩B1E=E,∴DE⊥平面AEB1

∵DE平面ADE,∴平面ADE⊥平面AEB1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,DE⊥AE,DE⊥B1E,∴∠AEB1 为二面角A﹣DE﹣C1的平面角为 ,又∵AE=EB1=1,∴△AEB1 为正三角形,则AB1=1.

在RtDEB1 中,由 ,可得B1D=2,

∴△ADB1是等腰三角形,底边AB1 上的高等于

设E到平面ADB1的距离为h,则由等积法得:

得h=

∵C1D∥B1E,且C1D=2B1E,

∴C1 到平面ADB1 的距离为


【解析】(Ⅰ)由原图形中的DE⊥AB,可得折起后DE⊥AE,DE⊥B1E,再由线面垂直的判定可得DE⊥平面AEB1,进一步得到平面ADE⊥平面AEB1;(Ⅱ)通过解三角形求出三角形ADB1 的面积,利用等积法求得E到平面ADB1 的距离,再由比例关系求得C1到平面ADB1 的距离,则三棱锥C1﹣AB1D的体积可求.
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定,需要了解一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直才能得出正确答案.

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