【题目】如图1,四边形ABCD是菱形,且∠A=60°,AB=2,E为AB的中点,将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1 , 如图2.
(Ⅰ) 求证:平面ADE⊥平面AEB1;
(Ⅱ) 若二面角A﹣DE﹣C1的大小为 ,求三棱锥C1﹣AB1D的体积.
【答案】证明:(Ⅰ)∵图1,四边形ABCD是菱形,且∠A=60°,E为AB的中点,
∴DE⊥AB,
∵将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1,如图2,
∴DE⊥AE,DE⊥B1E,
又AE∩B1E=E,∴DE⊥平面AEB1,
∵DE平面ADE,∴平面ADE⊥平面AEB1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,DE⊥AE,DE⊥B1E,∴∠AEB1 为二面角A﹣DE﹣C1的平面角为 ,又∵AE=EB1=1,∴△AEB1 为正三角形,则AB1=1.
在RtDEB1 中,由 ,可得B1D=2,
∴△ADB1是等腰三角形,底边AB1 上的高等于 .
则 .
设E到平面ADB1的距离为h,则由等积法得: ,
得h= .
∵C1D∥B1E,且C1D=2B1E,
∴C1 到平面ADB1 的距离为 .
则 .
【解析】(Ⅰ)由原图形中的DE⊥AB,可得折起后DE⊥AE,DE⊥B1E,再由线面垂直的判定可得DE⊥平面AEB1,进一步得到平面ADE⊥平面AEB1;(Ⅱ)通过解三角形求出三角形ADB1 的面积,利用等积法求得E到平面ADB1 的距离,再由比例关系求得C1到平面ADB1 的距离,则三棱锥C1﹣AB1D的体积可求.
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定,需要了解一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直才能得出正确答案.
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【题目】已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ,求 的极值;
(2)若 ,是否存在 ,使 的极值大于零?若存在,求出 的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列说法正确的是( )
①原命题为真,它的否命题为假;
②原命题为真,它的逆命题不一定为真;
③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;
④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真.
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②③④
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【题目】对函数f(x),如果存在x0≠0使得f(x0)=﹣f(﹣x0),则称(x0 , f(x0))与(﹣x0 , f(﹣x0))为函数图象的一组奇对称点.若f(x)=ex﹣a(e为自然数的底数)存在奇对称点,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,1)
B.(1,+∞)
C.(e,+∞)
D.[1,+∞)
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的方程是y=8,圆C的参数方程是 (φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求直线l和圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)射线OM:θ=α(其中 )与圆C交于O、P两点,与直线l交于点M,射线ON: 与圆C交于O、Q两点,与直线l交于点N,求 的最大值.
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【题目】在直角坐标系xOy中,已知点P(2,0),曲线C的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线C的普通方程和极坐标方程;
(Ⅱ)过点P且倾斜角为 的直线l交曲线C于A,B两点,求|AB|.
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【题目】已知椭圆 的离心率为 ,短轴长为2. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若圆O:x2+y2=1的切线l与曲线E相交于A、B两点,线段AB的中点为M,求|OM|的最大值.
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【题目】如图1,在边长为4的正三角形ABC中,D,F分别为AB,AC的中点,E为AD的中点.将△BCD与△AEF分别沿CD,EF同侧折起,使得二面角A﹣EF﹣D与二面角B﹣CD﹣E的大小都等于90°,得到如图2所示的多面体.
(1)在多面体中,求证:A,B,D,E四点共同面;
(2)求多面体的体积.
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【题目】设函数f(x)= +c(e=2.71828…是自然对数的底数,c∈R).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间、最大值;
(Ⅱ)讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.
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