Question

【题目】设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sinA+sinB=[cosA﹣cos（π﹣B）]sinC．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若a+b+c=1+ ，试求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵sinA+sinB=[cosA﹣cos（π﹣B）]sinC，

∴sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，

由正弦定理和余弦定理得，

a+b=（ + ）c，

化简得，2a2b+2ab2=ab2+ac2﹣a3+ba2+bc2﹣b3

a2b+ab2=ac2﹣a3+bc2﹣b3，

（a+b）（a2+b2﹣c2）=0，

又a+b＞0，∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2，

∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°

（2）解：∵a+b+c=1+ ，a2+b2=c2，

∴1+ =a+b+ ≥2 + =（2+ ）

当且仅当a=b时上式等号成立，则 ≤ = ，

∴S△ABC= ab≤ × = ，

即△ABC面积的最大值为

【解析】（1）由诱导公式、正弦定理和余弦定理化简已知的式子，化简后由边的关系判断出三角形的形状；（2）由（1）和条件化简后，由基本不等式化简求出 的范围，表示三角形的面积，即可求出答案．
【考点精析】利用正弦定理的定义和余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．