Question

设a∈[-1，0]，已知函数f(x)=

-x2+(2a-2)x，x≤0 x3-(a+ 3 2 )x2+2ax，x＞0.

（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x₁x₂x₃≠0，试证明：x1+x2+x3＞-

2

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对函数f（x）分段研究，求出各段的导数，判断导数在区间内的正负，即可证明结论；
（Ⅱ）利用导数的几何意义，将曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，转化为f′（x₁）=f′（x₂）=f′（x₃），再利用（Ⅰ）中函数的单调性，判断出x₁，x₂，x₃对应函数值之间的关系，得到x₁+x₂+x₃与a之间的联系，利用a的取值范围，即可确定x₁+x₂+x₃的取值范围，从而证得结论，

解答：证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=

-x2+(2a-2)x，x≤0 x3-(a+ 3 2 )x2+2ax，x＞0

，
∴设函数f₁（x）=-x²+（2a-2）x（x≤0），f₂（x）=x³-（a+

3

2

）x²+2ax（x＞0），
①f₁′（x）=-2x+（2a-2）=2a-2（x+1），
∵a∈[-1，0]，
∴当-1＜x＜0时，f₁′（x）＜0，即函数f₁（x）在（-1，0]上单调递减，
②f₂′（x）=3x²-（2a+3）x+2a=（x-1）（3x-2a），
∵a∈[-1，0]，
∴当0＜x＜1时，f₂′（x）＜0，当x＞1时，f₂′（x）＞0，
∴函数f₂（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
综合①②，且f₁（0）=f₂（0）=0，
∴函数f（x）在区间（-1，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）在区间（-∞，0）上单调递减，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∵曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，
∴x₁，x₂，x₃互不相等，且f′（x₁）=f′（x₂）=f′（x₃），
不妨设x₁＜0＜x₂＜x₃，
∵f′（x₂）=f′（x₃），
∴3x₂²-（2a+3）x₂+2a=3x₃²-（2a+3）x₃+2a，
∴3x₂²-3x₃²-（2a+3）（x₂-x₃）=0，
∴x₂+x₃=

2a+3

3

，
又∵f′（x₁）=f₁′（x₁）=-2x₁+2a-2=f′（x₂），
而f′（x₂）=f₂′（x₂）＜f₂′（0）=2a，
∴-2x₁+2a-2＜2a，即x₁＞-1，则x₁+x₂+x₃＞-1+

2a+3

3

=

2

3

a，
∵-1≤a≤1，
∴-

2

3

≤

2

3

a≤0，
∴x₁+x₂+x₃＞-

2

3

．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．解题中运用的转化化归的数学思想方法．是导数应用的一道综合性题目．属于难题．