Question

【题目】在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，

观众甲选中3号歌手的概率为 ，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣ = ，

∴P（A）= ，

∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 ；

（2）解：X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．

观众甲选中3号歌手的概率为 ，观众乙选中3号歌手的概率为 ，

当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1﹣ ）（1﹣ ）2= ，

当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，

P（X=1）= （1﹣ ）2+（1﹣ ） （1﹣ ）+（1﹣ ）（1﹣ ） = ，

当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，

P（X=2）= （1﹣ ）+（1﹣ ） + （1﹣ ） = ，

当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，

P（X=3）= （ ）2= ，

X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P

∴数学期望EX=0× +1× +2× +3× = ．

【解析】（1）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为 ，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣ = ，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（2）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．
【考点精析】掌握离散型随机变量及其分布列是解答本题的根本，需要知道在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．