Question

21. 已知函数在区间内各有一个极值点.

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）当时，设函数在点处的切线为，若l在点A处穿过的图象（即动点在点A附近沿曲线运动，经过点A时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式.

Answer 1

解：（Ⅰ）因为函数在区间［－1,1］,（1,3）内分别有一个极值点，所以＝x²+ax+b=0在［－1,1］,（1,3）内分别有一个实根，设两实根为x₁、x₂(x₁＜x₂＝,则x₂–x₁=,且0＜x₂-x₁≤4,于是0〈≤4，0〈a²-4b≤16,且当x₁＝－1,x₂=3,即a=-2,b=-3时等号成立，故a²-4b的最大值是16.

（Ⅱ）解法一　由f′（1）＝1＋a+b知f(x)在点（1,f(1)）处的切线l的方程是

y-f(1)=f′(1)(x-1),即y=(1+a+b)x--a.

因为切线l在点A（1,f（1））处穿过y=f(x)的图象，

所以g(x)=f(x)-[(1+a+b)x--a]在x=1两边附近的函数值异号，则x=1不是g(x)的极值点.

而g(x)=x³+ax²+bx-(1+a+b)x++a,且

g′(x) =x²+ax+b-(1+a+b)=x²+ax-a-1=(x-1)(x+1+a),

若1≠－1－a,则x=1和x=-1-a都是g(x)的极值点.

所以1＝－1－a,即a=-2.又由a²-4b=8,得b=-1,故f(x)= x³–x²–x.

解法二　同解法一得g(x)=f(x)-[(1+a+b)x--a]= (x-1)[x²+(1+)x-(2+a)].

因为切线l在点A（1,f(1)）处穿过y=f(x)的图象，所以g(x)在x=1两边附近的函数值异号。于是存在m₁、m₂(m₁＜1＜m₂),当m₁＜x＜1时，g(x)＜0,当1＜x＜m₂时，g(x)＞0；或当m₁＜x＜1时，g(x)＞0,当1＜x＜m₂时，g(x)＜0.

设h(x)=x²＋（1＋）x-(2+),则当m₁＜x＜1时，h(x)＞0,当1＜x＜m₂时，h(x)＞0；或当m₁＜x＜1时，h(x)＜0时，当1＜x＜m₂时，h(x)＜0.

由h(1)=0知x=1是h(x)的一个极值点，则h′(1)＝2×1＋1＋＝0.所以a=-2.又由a²－4b=8,得b=-1.故f(x) =x³-x²-x.