Question

（2012•梅州二模）己知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面区域的面积为16

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上是否存在两个不同的点P，Q，使P，Q关于直线y=4x+m对称？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，可得a=

2

b；利用不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面区域的面积为16

2

，可得4×

1

2

ab=16

2

，从而可得椭圆C的方程；
（2）假设P，Q存在，设出点的坐标，利用点差法可得PQ的中点M的坐标，根据M在椭圆内，建立不等式，即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，∴

a2-b2

a

=

2

2

，∴a=

2

b①
根据对称性知，不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面区域是椭圆C的四个顶点为顶点的菱形，可得4×

1

2

ab=16

2

②
由①②可得a=4，b=2

2

∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

8

=1；
（2）假设P，Q存在，设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ的中点M（x₀，y₀），则

x12 16 + y12 8 =1 x22 16 + y22 8 =1

两式相减可得

x22-x12

16

+

y22-y12

8

=1
∴

y2-y1

x2-x1

=-

8

16

×

x1+x2

y1+y2

=-

1

2

×

x0

y0

=-

1

4

∴y₀=2x₀
∵y₀=4x₀+m，∴x0=-

m

2

，y₀=-m
∵M在椭圆内，∴

x02

16

+

y02

8

＜1
∴

(- m 2 )2

16

+

m2

8

＜1
∴m2＜

64

9

∴-

8

3

＜m＜

8

3

∴m的取值范围是(-

8

3

，

8

3

)．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的对称性，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．