Question

现有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内．（1）若每个盒子都有球，但球的编号与盒子编号完全不相同，则不同的投放方法有

44

种；
（2）若恰有一个盒子空着，有

1200

种投放方法；
（3）若每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子的编号是相同的，有

31

种投放方法．（用数字作答）

Answer 1

分析：（1）根据题意，要求五个球的编号与盒子编号全不同，是完全乱序问题，由公式直接计算即可；
（2）首先选定两个不同的球，看作一个球，与其他的4个球，投入5个盒子中，分别计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）先求每个盒子内投放一球的放法，再分情况求不合要求的放法，①恰有一球相同的放法，②五个球的编号与盒子编号全不同的放法，两者想减即可得答案．

解答：解：（1）要求五个球的编号与盒子编号全不同，是完全乱序问题，
则其不同的放法有A₅⁵（

1

A 2 2

-

1

A 3 3

+

1

A 4 4

-

1

A 5 5

）=44个；
（2）首先选定两个不同的球，看作一个球，选法有C₅²=10种，
再把“空”当作一个球，共计5个“球”，投入5个盒子中，有A₅⁵=120种投放法．
∴共计有10×120=1200种方法．
（3）若每个盒子内投放一球，有A₅⁵=120种，
不满足条件的情形有2类，①、恰有一球相同的放法：C₅¹×9=45，
②、五个球的编号与盒子编号全不同，由（1）可得有44种；
则共有120-45-44=31种；
故答案为（1）44，（2）1200，（3）31．

点评：本题考查排列、组合的应用，解题的关键是明确如何满足题意的限制条件．