Question

16．已知双曲线的渐近线方程为$y=±\sqrt{3}x$，一个焦点为$（0，-2\sqrt{2}）$，则双曲线的标准方程是$\frac{{y}^{2}}{6}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．

Answer 1

分析 根据题意，根据双曲线焦点的坐标可以设其标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，且有a²+b²=c²=8，①，利用标准方程表示出其渐近线方程为：y=±$\frac{a}{b}$x，结合题意可得$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，②
联立两式，解可得a²、b²的值，将其代入双曲线的标准方程即可得答案．

解答 解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为$（0，-2\sqrt{2}）$，在y轴上，
可以设其标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，且有a²+b²=c²=8，①
其渐近线方程为：y=±$\frac{a}{b}$x，
又由该双曲线的渐近线方程为$y=±\sqrt{3}x$，则有$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，②
联立①、②可得：a²=6，b²=2，
则要求双曲线的方程为：$\frac{{y}^{2}}{6}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1；
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{6}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线的求法，需要由焦点的位置先设出双曲线的方程．