Question

某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=

400x- 1 2 x2，0≤x≤400 80000，x＞400

，其中x是仪器的产量（单位：台）；
（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益-总成本）；
（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）利润=收益-成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；
（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．

解答： 解：（1）当0≤x≤400时，f(x)=400x-

1

2

x2-100x-20000=-

1

2

x2+300x-20000
当x＞400时，f（x）=80000-100x-20000=60000-100x
所以f(x)=

- 1 2 x2+300x-20000，0≤x≤400 60000-100x，x＞400

…（7分）
（2）当0≤x≤400时f(x)=-

1

2

x2+300x-20000=-

1

2

(x-300)2+25000
当x=300时，f（x）_max=25000，…（10分）
当x＞400时，f（x）=60000-100x＜f（400）=20000＜25000…（13分）
所以当x=300时，f（x）_max=25000
答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元．             …（15分）

点评：本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．