【题目】已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2﹣10x的一个极值点.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)因为 所以
因此a=16
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=16ln(1+x)+x2﹣10x,x∈(﹣1,+∞)
当x∈(﹣1,1)∪(3,+∞)时,f′(x)>0
当x∈(1,3)时,f′(x)<0
所以f(x)的单调增区间是(﹣1,1),(3,+∞)f(x)的单调减区间是(1,3)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣1,1)内单调增加,
在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,且当x=1或x=3时,f′(x)=0
所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2﹣9,极小值为f(3)=32ln2﹣21
因此f(16)>162﹣10×16>16ln2﹣9=f(1)f(e﹣2﹣1)<﹣32+11=﹣21<f(3)
所以在f(x)的三个单调区间(﹣1,1),(1,3),(3,+∞)直线y=b有y=f(x)的图象各有一个交点,当且仅当f(3)<b<f(1)
因此,b的取值范围为(32ln2﹣21,16ln2﹣9)
【解析】(Ⅰ)先求导 ,再由x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2﹣10x的一个极值点即 求解.(Ⅱ)由(Ⅰ)确定f(x)=16ln(1+x)+x2﹣10x,x∈(﹣1,+∞)再由f′(x)>0和f′(x)<0求得单调区间.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣1,1)内单调增加,在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,且当x=1或x=3时,f′(x)=0,可得f(x)的极大值为f(1),极小值为f(3)一,再由直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点则须有f(3)<b<f(1)求解,因此,b的取值范围为(32ln2﹣21,16ln2﹣9).
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【题目】已知函数 ,其中a∈R.
(1)根据a的不同取值,讨论f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)已知a>0,函数f(x)的反函数为f﹣1(x),若函数y=f(x)+f﹣1(x)在区间[1,2]上的最小值为1+log23,求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值.
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【题目】等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列,若=1,Sn是{}的前n项和,则的最小值为________.
【答案】4
【解析】
成等比数列,=1,可得:= ,即(1+2d)2=1+12d,d≠0,解得d.可得an,Sn.代入利用分离常数法化简后,利用基本不等式求出式子的最小值.
∵成等比数列,a1=1,
∴= ,
∴(1+2d)2=1+12d,d≠0,
解得d=2.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
Sn=n+×2=n2.
∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4,
当且仅当n+1=时取等号,此时n=2,且取到最小值4,
故答案为:4.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式,等比中项的性质,基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
【题型】填空题
【结束】
17
【题目】设是公比为正数的等比数列,,
(1)求的通项公式;
(2)设是首项为1,公差为2的等差数列,求数列的前项和
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【题目】已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.
(1)当n∈N+,求f(n)的表达式;
(2)设an=nf(n),n∈N+,求证:a1+a2+…+an<2.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)利用f(x+y)=f(x)f(y)(x,y∈R)通过令x=n,y=1,说明{f(n)}是以f(1)=为首项,公比为的等比数列求出;(2)利用(1)求出an=nf(n)的表达式,利用错位相减法求出数列的前n项和,即可说明不等式成立.
(1)解:f(n)=f[(n-1)+1]
=f(n-1)·f(1)=f(n-1).
∴当n≥2时,=.
又f(1)=,
∴数列{f(n)}是首项为,公比为的等比数列,
∴f(n)=f(1)·()n-1=()n.
(2)证明:由(1)可知,
an=n·()n=n·,
设Sn=a1+a2+…+an,
则Sn=+2×+3×+…+(n-1)·+n·,①
∴Sn=+2×+…+(n-2)·+(n-1)·+n·.②
①-②得,
Sn=+++…+-n·
=-=1--,
∴Sn=2--<2.
即a1+a2+…+an<2.
【点睛】
本题考查数列与函数的关系,数列通项公式的求法和的求法,考查不等式的证明,裂项法与错位相减法的应用,数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a (a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N+.
(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(2)若an+1≥an,n∈N+,求a的取值范围.
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【题目】某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据:
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)画出散点图;并说明销售额y与广告费用支出x之间是正相关还是负相关?
(2)请根据上表提供的数据,求回归直线方程;
(3)据此估计广告费用为10时,销售收入的值.
(参考公式:,).
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【题目】设△ABC是边长为4的正三角形,点P1 , P2 , P3 , 四等分线段BC(如图所示)
(1)P为边BC上一动点,求 的取值范围?
(2)Q为线段AP1上一点,若 =m + ,求实数m的值.
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