Question

在我校“学雷锋”活动月的一次活动中，甲、乙、丙、丁戊五位同学随机地选择承担A、B、C、D四项不同任务中的一项．
（1）若每项任务至少有一个同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；
（2）设这五位同学选择承担任务的项数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）先求甲、乙两人同时承担同一项任务的概率，再利用对立事件求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；
（2）确定随机变量ξ的可能取值，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与数学期望．

解答：解：（1）设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件A，则P（A）=

A 4 4

C 2 5 A 4 4

=

1

10

∴甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率为P（

.

A

）=1-P（A）=

9

10

（2）随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，则
P（ξ=1）=

C 1 4

45

=

1

256

；P（ξ=2）=

(C 1 5 + C 2 5 ) A 2 4

45

=

45

256

；P（ξ=3）=

75

128

；P（ξ=4）=

C 2 5 A 4 4

45

=

15

64

；
∴ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	1 256	45 256	75 128	15 64

∴Eξ=1×

1

256

+2×

45

256

+3×

75

128

+4×

15

64

=

781

256

．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．