Question

【题目】已知直线l：ax﹣y+1=0与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）若a＞0，点M（1，﹣1），点N（1，4），且以MN为直径的圆过点A，求以AN为直径的圆的方程；
（2）以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC，若a=﹣ ，且点P（m， ）（m＞0）满足△ABC与△ABP的面积相等，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意A（﹣ ，0），AM⊥AN，

∴ =﹣1，∵a＞0，∴a=1，

∴A（﹣1，0），∵N（1，4），

∴AN的中点坐标为D（0，2），|AD|= ，

∴以AN为直径的圆的方程是x2+（y﹣2）2=5；

（2）解：根据题意画出图形，如图所示：

由直线y=﹣ x+1，令x=0，解得y=1，

故点B（0，1），

令y=0，解得x= ，故点A（ ，0），

∵△ABC为等边三角形，且OA= ，OB=1，

根据勾股定理得：AB=2，即等边三角形的边长为2，

故过C作AB边上的高为 ，即点C到直线AB的距离为 ，

由题意△ABP和△ABC的面积相等，

则P到直线AB的距离d= |﹣ m+ |= ，

∵m＞0，

∴m= ．

【解析】（1）求出A的坐标，即可求以AN为直径的圆的方程；（2）根据题意画出图形，令直线方程中x与y分别为0，求出相应的y与x的值，确定出点A与B的坐标，进而求出AB的长即为等边三角形的边长，求出等边三角形的高即为点C到直线AB的距离，由△ABP和△ABC的面积相等，得到点C与点P到直线AB的距离相等，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线AB的距离d，让d等于求出的高列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．