Question

已知函数f（x）=1+

1

x

-x^α（α∈R），且f（3）=-

5

3

．
（1）求α的值；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意得1+

1

3

-3α=-

5

3

，从而解得；
（2）由（1），得f(x)=1+

1

x

-x，从而可得

x2-x-1

x

=0，从而求得函数的零点；
（3）先可判断函数f(x)=1+

1

x

-x在（-∞，0）上是单调减函数，再由定义法证明函数的单调性．

解答： 解：（1）由f(3)=-

5

3

，得1+

1

3

-3α=-

5

3

，
解得α=1．
（2）由（1），得f(x)=1+

1

x

-x．
令f（x）=0，即1+

1

x

-x=0，
即

x2-x-1

x

=0，
解得x=

1± 5

2

．
经检验，x=

1± 5

2

是1+

1

x

-x=0的根，
所以函数f（x）的零点为

1± 5

2

．
（3）函数f(x)=1+

1

x

-x在（-∞，0）上是单调减函数．
证明如下：
设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=(1+

1

x1

-x1)-(1+

1

x2

-x2)=(x2-x1)(

1

x1x2

+1)，
因为x₁＜x₂＜0，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0．
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以f(x)=1+

1

x

-x在（-∞，0）上是单调减函数．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，属于基础题．